_: Phrase cryptique Que veut dire la phrase « On n' aurait pas encore falsifié de théorème majeur avec ces méthodes » à propos des logiques non-standards ? Rien , c' est une faute de frappe , « On n' aurait pas encore démontré de théorème majeur avec ces méthodes » est la phrase voulue . Merci de la remarque . Je suis désolé , mais je ne comprends pas plus . Je vois pas ce que vient faire ce conditionnel . Est -ce que cela se veut être une affirmation du genre « A ce jour , aucun théorème majeur n' a été démontré en utilisant seulement les techniques de démonstration de l' analyse non-standard » ? NB : j' ai réécrit les phrases qui précédaient . C' est clairement mieux , mais je ne me sentais pas d' être aussi affimatif vu que je n' ai pas regardé ce genre de chose depuis dix ans . Si ta formulation est justifiée par de bonnes sources , elle est clairement meilleure . Hélas , je suis incompétent sur le sujet de l' analyse non standard . Je vais faire un peu de recherche , ce conditionnel est bien génant , et personne n' y comprendra rien en l' état . Période classique Ce n' est qu' un premier jet . Il est quasi caricatural , il n' explique pas la philosophie de Newton et la logique chez les intuitionnistes . Il omet Pascal et Descartes , il n' explique mal le rôle de la logique chez d' Alembert ou Voltaire . Et oublier Spinoza est impardonable . En bref il reste à faire encore beaucoup de travail et si un philosophe peut nous aider , il y aura moins de bétises d' écrites . Une analyse de la logique en philosophie essentiellement fondée sur Vinci Galilée Newton sur la période classique , c' est indigent . Logique contemporaine Je ne suis pas convaincu par cette section , qui me paraît un peut anecdotique et pas assez synthétique . Je trouve en particulier que la phrase sur l' analyse non standard n' a pas sa place dans cette section . Logique moderne Cette section , comme d' ailleurs tout l' article , ne cite pas ses sources et est truffée de commentaires non encyclopédiques . Je cite 2 cas ci-dessous . - Maladie infectieuse On ne nous dit pas quelle est la maladie infectieuse à laquelle Hilbert aurait mis fin . J' ai plutôt l' impression qu' on a confondu Hilbert et Poincaré - Poincaré avait qualifié la théorie des ensembles de " maladie " ( le pauvre , s' il revenait .... ) Mais je laisse , au cas où on voudrait bien mettre une source . - Je ne tiens pas du tout ( cf. ci-dessous ) à défendre l' article , mais je serais curieux de savoir si l' on peut donner une référence de ce propos de Poincaré . Je l' ai déjà vu cité , mais jamais référencé . Les écrits de Poincaré que j' ai lu sur le sujet sont nettement plus mesurés . Bref ça m' intéresserait de savoir d' où ça vient ( même si c' est indirect ) . Par ailleurs Hilbert a pu dire quelque chose de ce genre ( j' essayerai de vérifier ) , mais dans les années 1920 , dans un article où il présente son programme . Ca viendrait du mathématicien anglais Ian Stewart " Poincaré disait que les générations futures considéreront ces théories comme une maladie " ; je viens de voir ça cité par un blog mais j' avais lu auparavant une phrase similaire . J' essayerai de retrouver où . Je tombe là-dessus en cherchant tout autre chose dans l' encyclopédie anglaise : http : Axiomatic   set   theory   why   i   deleted   .22set   theory   is   a   disease   from   which   mathematics   will   one   day   recover.22 Ca semble possible ( Dans ses écrits Poincaré est assez critique sur ce qu' il appelle le " Cantorisme " , mais s' est intéressé de près aux travaux de Cantor et ne dit pas qu' il faut tout jeter ) . Gödel et Bourbaki Bourbaki ignore Gödel ? Là je sais que c' est faux , j' enlève ce passage . - Dans un cas comme dans l' autre il doit bien exister une référence ou une citation . En particulier , si Bourbaki connaissait Gödel , on doit bien trouver une référence . Bourbaki Eléments de mathématiques Diffusion CCLS 1977 pp. EIV73 à EIV 76 . Il y a notamment un résumé de la démarche suivie par Gödel , un rapprochement avec le théorème du modèle dénombrable de Löwenheim-Skolem et des considérations sur l' Entscheidungsproblem . A noter que Gentzen a réussi à prouver la consistance de l' arithmétique formalisée en utilisant " intuitivement " l' induction transfinie jusqu'à l' ordinal & 206;& 181;o . Bien entendu , cette démarche ne relève pas des " procédés finis " de Hilbert - cadre dans lequel le théorème d' incomplétude s' applique . Je parais un peu pointilleux , mais ne parlons -nous pas de logique ? La « démarche » de Gödel n' est pas le « résultat » . Merci pour l' information vérifiable . Le résultat y est , bien entendu . Dans la page EIV73 , Bourbaki dit , à propos des théorèmes de non-catégoricité : " Le premier en date est dû à K. Gödel ( XLIV a ) qui a montré que , si T est non-contradictoire et si les axiomes de l' arithmétique formalisée sont des théorèmes de T , alors T n' est pas catégorique . L' idée fondamentale de son ingénieuse méthode consiste à établir une correspondance biunivoque - bien entendu , au moyen de procédés finis - entre les énoncés métamathématiques et certaines propositions de l' arithmétique formalisée ; nous nous bornerons à en esquisser les grandes lignes ( .... ) " XLIV a , c' est évidemment Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme , Monatsch für Math u . Phys. , t . XXXVIII , Kurt Gödel 1931 . Le point culminant se trouve dans les pages 173 à 198 . Je pense qu' il s' agit de la complétude . Pourquoi Bourbaki emploie -t-il le mot catégoricité ? Bourbaki appelle catégorique toute théorie T pour laquelle , si A est une proposition de T ne contenant aucune lettre autre que les constantes de T , soit A soit ¬A est un théorème de T . L' article anglais catégoricité dit ceci : " Oswald Veblen in 1904 defined a theory to be categorical if all of its models are isomorphic . It follows from the definition above and the Löwenheim-Skolem theorem that any first-order theory with a model of infinite cardinality cannot be categorical . One is then immediately led to the more subtle notion of & 206;& 186;-categoricity , which asks : for which cardinals & 206;& 186; is there exactly one model of cardinality & 206;& 186; of the given theory T up to isomorphism ? " Visiblement la notion de catégoricité utilisée par Bourbaki est celle d' Oswald Veblen , car si une théorie n' admet qu' un seul modèle à un isomorphisme près , cela équivaut à dire qu' elle est complète . ça n' équivaut pas : il existe des théories complètes ayant des modèles infinis , et qui ont donc des modèles de cardinalités distinctes . Il y a eu historiquement un certain flottement sur la notion de catégoricité ( y compris chez Gödel ) , le théorème de Löwenheim-Skolem de l' article anglais est le théorème ascendant qui n' est pas de Löwenheim ni Skolem me semble -t-il , je ne sais plus de quand il date . Qu' entendaient -ils par catégoriques à l' époque ? ( aleph 0 -catégoriques ? Etait -ce bien clair pour eux ? ) . En tout cas aujourd'hui il est clair que la notion de catégoricité au sens strict n' a pas d' intérêt . A mon avis le contributeur qui écrivait que Bourbaki ignorait Gödel devait vouloir dire que Bourbaki a fait comme si le programme de Hilbert n' avait pas été remis en cause par Gödel , ça ne peut pas être au sens strict ( les théorèmes de Gödel ont quand même finis par être assez connus ) . Ceci dit je ne défends pas le texte , de toute façon ce genre de chose demande une référence , et puis je ne crois pas que cet article soit amendable . OK je n' ai pas beaucoup réfléchi quand j' ai parlé de la catégoricité . Mais Bourbaki prend bien en compte l' échec du programme de Hilbert , en page EIV75 : " C' est en effet dans la question de la non-contradiction des théories mathématiques ( .... ) que les résultats se sont révélés les plus décevants . ( .... ) ils [ l' école de Hilbert ] croyaient toucher au but et démontrer , non seulement la non-contradiction de formalismes partiels , couvrant une partie de l' arithmétique , mais aussi celle de la théorie des ensembles , lorsque Gödel , s' appuyant sur la non-catégoricité de l' arithmétique , en déduisit l' impossibilité de démontrer par les " procédés finis " de Hilbert , la non-contradiction de toute théorie T contenant cette dernière . " J' ai relu les deux pages où Bourbaki parle du théorème de Gödel , je les ai scannées et je peux vous les envoyer si vous le désirez . Bien sûr , il était faux de dire que « Bourbaki ignorait le théorème de Gödel » , en revanche il est très clair que Bourbaki n' a pas compris la portée de ce théorème ; tout d' abord , il en donne une conséquence très affaiblie , la catégoricité et il se réfère aux « axiomes de l' arithmétique formalisée » sans voir que cela touche toute axiomatisation des entiers , mais surtout il persiste à penser qu' une formalisation des mathématiques ( de la théorie des ensembles comme il l' écrit ) est possible . En conséquence , je pense qu' une histoire de la logique doit évoquer le fait qu' un groupe de mathématiciens attaché au formalisme aient pu ne pas saisir jusqu'en 1970 ( mon édition est de 1970 ) la portée du théorème de Gödel . P.S . Sur la page 75 , la façon dont il parle de la décision ou l' esquive est aussi assez « étonnante » vue d' aujourd'hui . On peut critiquer la terminologie . La définition de la catégoricité par Bourbaki équivaut à celle de la complétude par Tarski : si P est une proposition exprimable dans la théorie , soit P soit ¬P y est démontrable .... Donc une théorie non-catégorique au sens de Bourbaki est une théorie incomplète au sens de Tarski : ni P ni sa négation ne sont prouvables à l' intérieur de la théorie .... - Le théorème de Gödel dit plus que le fait que la théorie des entiers naturels est non catégorique ( ou incomplète au sens de Tarski ) , il dit qu' il existe une proposition Pvraienon démontrable . Clairement ¬P ne sera pas démontrable puisqu' elle est fausse et donc on a évidemment la non catégoricité comme cas particulier facile ( je dirais même un peu dégénéré ) ; mais c' est bien le fait que P ne soit pas démontrable qui est troublant . De plus , si on étend la théorie , il restera toujours une proposition vraie non démontrable . Bourbaki n' a visiblement pas compris ces faits ( sens fort de la complétude , nature intrinsèque du résultat ) , puisqu' il espère une théorie des ensembles complète . Cette foi est répétée à propose du théorème de complétude de Gentzen , page suivante . Bourbaki a bien vu qu' il y a une proposition vraie non démontrable , comme il le note incidemment , mais il n' a pas vu que c' est ça le résultat fort de Gödel . Il n' est pas le seul dans l' erreur . Je suis en train de lire l' autobiographie ( écrite en 1953 ) de Norbert Wiener , ancien élève de Russell , qui lui aussi assimile le théorème de Gödel à la non-catégorité . C' est d' ailleurs ce qui m' a mis la puce à l' oreille et envie d' aller voir le texte de Bourbaki . Bourbaki l' a vu mais ne l' a pas cru , à cause de Gentzen dont la démonstration n' était pas digne de foi , c' est ça ? sourire - Michel 421 18 novembre 2007 à 12 : 56 ( CET ) Si je récapitule , Bourbaki dit bien que dans un système duquel on peut déduire l' arithmétique il y a une proposition non démontrable , et sa négation est non-démontrable ; or pour Bourbaki l' une des deux doit être vraie - son système de calcul des propositions est celui de Hilbert-Ackermann duquel on déduit le tiers exclu . Donc Bourbaki croit bien qu' il y a une proposition vraie non démontrable . En quoi n' a t -il pas compris que c' était le résultat fort de Gödel ? Là je ne comprends pas trop Ce qu' écrit Pierre sur Wiener et Bourbaki est très intéressant . L' asymétrie dans le résultat du th . de Gödel est effectivement essentielle , et la formulation ( formule vraie non démontrable ) est très souvent la formulation moderne . Si on ne veut pas parler de " vrai " , on peut dire aussi , en plus lourdingue , que P est une formule universelle non démonrable dont chaque instance ( une pour chaque entier naturel " standard " ) est démontrable dans la théorie de départ T . Cet aspect échappe effectivement a beaucoup de gens qui n' y voient qu' un résultat d' incomplétude ( une formule indécidable ) et s' empressent de comparer celui  -ci à l' indécidabilité de l' axiome du choix ou de l' hypothèse du continu . Je suis quand même étonné que Bourbaki ait pu ignorer ( au sens fort , ne pas s' être rendu compte que ) que le th . de Gödel ne s' applique pas à la théorie des ensembles . L' arithmétique formalisée signifie -t-elle pour eux 1er ordre nécessairement ? Le titre de l' article de Gödel parle des principia mathematica ( la théorie des types , plus forte que l' arithmétique ) . Je crois aussi que la date à prendre en référence est celle de première publication . Je lirais volontiers le texte de Bourbaki ( mais je peux aussi facilement me le procurer ) , mais je n' ai malheureusement pas trop de temps actuellement . J' ai Bourbaki et je confirme : ce qu' ils appellent " langage formalisé " est bien un langage du 1er ordre Je vous donne la citation de Wiener ( p. 193 de son autobiographie Ex-prodigy ) . Après avoir expliqué qu' il avait écrit , en 1913 quand il était à Cambridge , un article qui concluait contre le point de vue de Russell que les systèmes logiques doivent par essence être incomplets , il écrit : * Mon hérésie de cette époque a été confirmée par le travail postérieur de Gödel qui a montré que dans n' importe quel système logique il y a des questions qui ne peuvent pas recevoir de réponse positive à partir des postulats . C' est-à-dire que si une réponse est cohérente vis-à-vis des postulats , la réponse opposée est également cohérente vis-à-vis d' eux . N' importe quel système logique il a bien écrit ça ? ? Quand Wiener a fait son autobiographie , Gödel n' avait pas produit que des théorèmes d' incomplétude , aussi des théorèmes de complétude . Je ne suis pas certain de la justesse de la traduction , en anglais il écrit : « within any system of logical postulates » . Critique de l' article J' ai l' impression que l' article est écrit dans une perspective " histoire des fondements de maths " , voire " histoire des maths " , et pas histoire de la logique ( par ex. je ne crois pas qu' Euclide parle vraiment de logique encore moins qu' il l' ait formalisée , les mégariens et les stoïciens méritent mieux ... ) . Il ya des choses sensées ( le calcul infinitésimal ... ) mais dites curieusement , on a l' impression que c' est pour placer le mot logique . Sur Le paragraphe " logique moderne " , de ce que je connais de l' histoire , c' est à peu près n' importe quoi tout du long ( par ex. la chronologie entre les travaux de Cantor et ceux de Hilbert est inversée ! , le paradoxe du menteur date des grecs ... ) . Au XVIII eme Leibniz qui me semble le personnage le plus important sur le sujet ( dont se réclament les fondateurs de la logique moderne ) n' est même pas mentionné comme logicien . A mon avis de Vinci n' a pas grand chose à voir avec l' histoire de la logique . Parler de logique mathématique avant le XXème siècle c' est complètement anachronique ( je ne sais même pas ce que ça veut dire d' ailleurs ) ... Au XIXème , rien sur Boole , Peirce ... Il ne faut pas hésiter à tout reprendre , bien-sûr la critique est plus facile : ça demande du boulot ... mais on peut au moins dire que ça ne parle quasiment pas de l' histoire de la logique ... Tout-à-fait d' accord . Maintenant , peut -on essayer de trouver une ligne directrice ? Y a -t-il des filiations ou tout au moins des fils historiques ? - Tout n' est pas à jeter . D' autre part , le plan qui consiste à considérer les grands courants liés à des bassins géographiques me parait acceptable . C' est peut-être le contenu qui l' est moins . En ce qui concerne , je ne suis pas favorable à une vision gréco-centrée des choses , ce qui est souvent un travers de ce genre d' articles . En gros , on dit « les Grecs ont tout inventé et ils ne communiquait pas avec le reste du monde » . J' y suis peut-être allé un peu fort , je ne dis pas pour le plan ( découpage géographique et chronologique , ceci dit ) , je n' y connais rien du tout pour ce qui est de la logique en chine , en inde et dans le monde islamique . Mais il m' est arrivé d' ouvrir un bouquin d' histoire de la logique ( Kneale and Kneale par ex. ) , et là franchement je ne reconnais pas grand chose . Sur le principe , évidemment que je serais d' accord pour éviter l' occidento-centrage . Le pb est qu' historiquement les contributions les plus notoires ( du point de vue des logiciens ) sont venues des aires hellénique et germanique . Ailleurs c' est très difficile de trouver des références solides . Elles existent sûrement . Peut-être les wikipédiens du secteur histoire-géo-civilisations pourraient donner un coup de main ? - ( Je repositionne les décalages , qui ont été perturbés de ma faute ) . Je dirais qu' il ne faut pas hésiter à tout effacer dans " période classique " ( hors sujet constant ) , et très sérieusement reprendre le reste ( antiquité grecque , moyen âge , logique moderne et contemporaine ) . Fil historique : je crois comprendre que , pour la partie histoire occidentale , l' influence d' Aristote est essentielle jusqu'au XIXeme ( y compris une bonne partie de celui  -ci ) , et les rapports avec les démonstrations mathématiques ( qui ne commencent pas à Euclide ) aussi . Maintenant il faut lire et donc du temps pour faire ça sérieusement ( pour moi , vu mes connaissances actuelles , en tout cas ) ... Je signale un autre ( gros ! ) ouvrage de référence , assez connu : William Kneale and Martha Kneale The Development of Logic Oxford University Press ( 1962 , 1984 ) . J' hésite à le mettre tout de suite , vu que le contenu actuel de l' article n' a pas grand rapport . Je veux bien servir de lecteur , mais de contributeur principal . Origine de l' article J' ai fait par hasard un peu d' archéologie wikipédique : cet article est issu d' une discussion tenue ici : Discussion : Nombre réel , ça explique en partie le contenu ( il s' agit plutôt d' une histoire de la rigueur en math ou quelque chose de ce genre ) . Il reste que ça ne correspond pas au titre ni à la bibliographie ajoutée depuis . de plus même dans cette perspective , c' est moins aberrant mais contestable . Boole , de Morgan , Karnaugh , Jevons , ... Boole , de Morgan , Karnaugh , Jevons , ... Il en manque . En effet il n' y a rien sur ces personnes précurseuses du calcul propositionnel ( Frege et Russell c' est plutôt le calcul des prédicats . ) Donc si vous connaissez , allez -y ( comme dans l' article logique ) ! L' article est de manière générale très insuffisant et les bonnes volontés sont les biens venues . Cordialement . Rem , il y a un Projet : Logique à revivifier . --